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如图所示,已知二次函数与坐标轴分别交于A、D、B三点,顶点为C。【原创】

(1)求tan∠BAC

(2)在y轴上是否存在一点P,使得△DOP与△ABC相似,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,说明理由。

 (3)Q是抛物线上一动点,使得以A、B、C、Q为端点的四边形是一个梯形,请直接写出满足条件的Q点的坐标。(不要求写出解题过程)

 



解:(1)把y=0代入,得

解得

即A(3,0),D(-1,0)

把x=0代入,得y=3

∴B(0,3)

把x=1代入

y=4,即C(1,4)。

过点C作CE⊥y轴,垂足为E。

∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形

∴∠ABC=90°且BC=,AB=

∴tan∠BAC=。。。。。4分

(2)①P在原点时,

∵PD=1,BP=3,∠BPD=∠ABC,且

即△DOP∽△ABC。。。。。。。。。。。。。。。。2分

②当P在y轴负半轴时,设P(0,a)

由①知∠DBP=∠BAC。

∴只需∠BDP=Rt∠即可。

此时,易证△BDO∽△DOP

∴OP=

∴P(0,)。。。。。。。。。。。。。。。。2分

②当P在y轴正半轴时,显然△BDP不可能为Rt△。

∴所以满足题意的P点为(0,0)或(0,)。

(3)(-2,-5),(4,-5),(2,3)


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【类比探究】

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【拓展延伸】

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(Ⅱ)           .

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