Question

11．（1）如图1，AB为⊙O的弦，D为AB上一点，且OD⊥OB．直线l与⊙O相切于点A，且直线l与OD的延长线交于点C．
①求证：AC=CD；
②若AC=2，OA=$\sqrt{5}$，求线段OD的长．
（2）如图2，AB为⊙O的弦，D为AB上一点，且OD⊥OB．直线l⊥OA，且直线l与OA的延长线交于点A′，与BA的延长线交于点E，与OD的延长线相交于点C′．
①在图2中找出与C′D相等的线段，并说明理由；
②若A′C′=9cm，OA′=12cm，⊙O的半径为6cm，求线段OD的长．

Answer 1

分析 （1）①由切线的性质得出∠OAC=90°，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠OBA，由角的互余关系得出∠ODB=∠DAC，再由对顶角相等得出∠DAC=∠ADC，即可得出结论；
②由勾股定理求出OC，即可得出OD；
（2）①由等腰三角形的性质和角的互余关系得出∠AEA′=∠EDC′，即可得出结论；
②由勾股定理求出OC′，证出OA=OB=AA′，由AAS证明△AEA’≌△ODB，由对应边相等得出A′E=OD，得出关系式，即可得出结果．

解答 （1）①证明：∵直线l与⊙O 相切于点A，
∴∠OAC=90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠OAB+∠DAC=∠OBA+∠ODB=90°，
∴∠ODB=∠DAC，
又∵∠ODB=∠ADC，
∴∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD；
②解：在Rt△OAC中，AC=2，OA=$\sqrt{5}$，
∴OC²=2²+（$\sqrt{5}$）²=9，
∴OC=3，
∴OD=OC-CD=OC-AC=3-2=1；
（2）解：①C′D=C′E，理由如下：
∵直线l⊥OA，且直线l与OA的延长线交于点A′，
∴∠OA′C′=90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠AEA′+∠E AA′=∠OBA+∠ODB=90°，
∠ODB=∠EDC′，∠OAB=∠E AA′，
∴∠AEA′=∠EDC′，
∴C′D=C′E；
②在Rt△OA′C′中，A′C′=9cm，OA′=12cm，
∴OC′²=A′C′+OA′=9²+12²=225，
∴OC′=15，
∵OA=6cm，
∴AA′=6cm，
∴OA=OB=AA′，
在△AEA′与△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AA′E=∠DOB=90°}\\{∠OBA=∠EAA′}\\{OB=AA′}\end{array}\right.$，
∴△AEA’≌△ODB（AAS），
∴A′E=OD，
∵C′D=C′E，
∴9+A′E=15-OD
∴9+OD=15-OD，
∴OD=3．

点评 本题是相似形综合题目，考查了切线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．