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【题目】平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放,分别延长DA和QP交于点O,且DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1,让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为α(0°≤α≤60°).

发现:

(1)当α=0°,即初始位置时,点P 直线AB上(选填“在”或“不在”).

当α= 时,OQ经过点B;

(2)在OQ旋转过程中,α= 时,点P,A间的距离最小?PA最小值为

(3)探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sinα的值.

【答案】(1)在,15°;(2)60°,1;(3)

【解析】

试题分析:(1)如图1所示,过点P作PA′⊥OD,垂足为A′.在△A′OP中利用利用特殊锐角三角函数可求得OA′=1,由OA=1,从而可求得点A与点A′重合,根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知点P在AB上;如图2所示:由△ABO为等腰直角三角形可知∠AOB=45°,从而可求得∠QOQ′=15°;

(2)(2)如图2,连接AP,由OA+APOP,当OP过点A,即α=60°时,等号成立,于是有APOP-OA=2-1=1,当α=60°时,P、A之间的距离最小,即可求得结果;

(3)半圆K与矩形ABCD的边相切,分三种情况;

①如图5,半圆K与BC相切于点T,设直线KT与AD,OQ的初始位置所在的直线分别交于点S,O′,于是得到∠KSO=∠KTB=90°,作KG⊥OO′于G,,在Rt△OSK求出OS==2,在Rt△OSO′中,SO′=OStan60°=2,KO′=2- 3 在Rt△KGO′中∠O′= =30°,求得KG= KO′=,在Rt△KGO,求得结果;②当半圆K与AD相切于T,如图6,同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时,点Q与点D重合,且为切点,得到α=60°于是结论可求.

试题解析:(1)在,

当OQ过点B时,在Rt△OAB中,AO=AB,

∴∠DOQ=∠ABO=45°,

∴α=60°﹣45°=15°;

(2)如图2,连接AP,

∵OA+AP≥OP,

当OP过点A,即α=60°时,等号成立,

∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1,

∴当α=60°时,P、A之间的距离最小,

∴PA的最小值=1;

(3)半圆K与矩形ABCD的边相切,分三种情况;

①如图5,半圆K与BC相切于点T,设直线KT与AD,OQ的初始位置所在的直线分别交于点S,O′,

则∠KSO=∠KTB=90°,

作KG⊥OO′于G,在Rt△OSK中,

OS==2,

在Rt△OSO′中,SO′=OStan60°=2,KO′=2-

在Rt△KGO′中,∠O′=30°,

∴KG=KO′=

∴在Rt△OGK中,sinα=

②当半圆K与AD相切于T,如图6,同理可得

sinα=

③当半圆K与CD切线时,点Q与点D重合,且为切点,=60°,

∴sinα=sin60°=

综上所述sinα的值为:

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