【题目】平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放,分别延长DA和QP交于点O,且∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1,让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为α(0°≤α≤60°).
发现:
(1)当α=0°,即初始位置时,点P 直线AB上(选填“在”或“不在”).
当α= 时,OQ经过点B;
(2)在OQ旋转过程中,α= 时,点P,A间的距离最小?PA最小值为 ;
(3)探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sinα的值.
【答案】(1)在,15°;(2)60°,1;(3)或或.
【解析】
试题分析:(1)如图1所示,过点P作PA′⊥OD,垂足为A′.在△A′OP中利用利用特殊锐角三角函数可求得OA′=1,由OA=1,从而可求得点A与点A′重合,根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知点P在AB上;如图2所示:由△ABO为等腰直角三角形可知∠AOB=45°,从而可求得∠QOQ′=15°;
(2)(2)如图2,连接AP,由OA+AP≥OP,当OP过点A,即α=60°时,等号成立,于是有AP≥OP-OA=2-1=1,当α=60°时,P、A之间的距离最小,即可求得结果;
(3)半圆K与矩形ABCD的边相切,分三种情况;
①如图5,半圆K与BC相切于点T,设直线KT与AD,OQ的初始位置所在的直线分别交于点S,O′,于是得到∠KSO=∠KTB=90°,作KG⊥OO′于G,,在Rt△OSK中,求出OS==2,在Rt△OSO′中,SO′=OStan60°=2,KO′=2- 3 在Rt△KGO′中,∠O′= =30°,求得KG= KO′=,在Rt△KGO中,求得结果;②当半圆K与AD相切于T,如图6,同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时,点Q与点D重合,且为切点,得到α=60°于是结论可求.
试题解析:(1)在,
当OQ过点B时,在Rt△OAB中,AO=AB,
∴∠DOQ=∠ABO=45°,
∴α=60°﹣45°=15°;
(2)如图2,连接AP,
∵OA+AP≥OP,
当OP过点A,即α=60°时,等号成立,
∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1,
∴当α=60°时,P、A之间的距离最小,
∴PA的最小值=1;
(3)半圆K与矩形ABCD的边相切,分三种情况;
①如图5,半圆K与BC相切于点T,设直线KT与AD,OQ的初始位置所在的直线分别交于点S,O′,
则∠KSO=∠KTB=90°,
作KG⊥OO′于G,在Rt△OSK中,
OS==2,
在Rt△OSO′中,SO′=OStan60°=2,KO′=2-,
在Rt△KGO′中,∠O′=30°,
∴KG=KO′=,
∴在Rt△OGK中,sinα=,
②当半圆K与AD相切于T,如图6,同理可得
sinα=;
③当半圆K与CD切线时,点Q与点D重合,且为切点,=60°,
∴sinα=sin60°=,
综上所述sinα的值为:或或.
科目:初中数学 来源: 题型:
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(1)按照这样的生产方式,工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品?
(2)为了在规定期限内完成总任务,工厂决定补充一些新工人,这些新工人只能独立进行G 型装置的加工,且每人每天只能加工4个G型装置. 请问至少需要补充多少名新工人?
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【题目】对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列五个结论:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个作为已知条件,一个作为结论,组成一个正确的语句_________________________(用数学语言作答).
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【题目】如果ab>0,a+b<0,那么a,b的符号是( )
A. a>0,b>0 B. a>0, b<0 C. a<0 ,b>0 D. a<0, b<0
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