Question

17．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD，求证：
（1）AB是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，求tan∠BCE的值．

Answer 1

分析 （1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可证得∠BCE=∠ABD，继而求得∠ABC=90°，则可证得AB是⊙O的切线；
（2）由∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，可求得AF、BF的长，易证得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BC=4$\sqrt{3}$+6，AB=2$\sqrt{3}$+4，进而求得BF=AB-AF=2$\sqrt{3}$+3，解直角三角形求得答案．

解答 （1）证明：∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CEB=90°，
∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，
∴∠BCE=∠DCE，
即∠BCD=2∠BCE，
∵∠BCD=2∠ABD，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，
∴CB⊥AB，
∵CB为直径，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：∵∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AFD中，AF=$\frac{DF}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，AD=2
∵DF⊥AB，CB⊥AB，
∴DF∥BC，
∴∠ADF=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ACB，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AB}$，
设BC=x，则$\frac{\sqrt{3}}{x}$=$\frac{2}{x+2}$=$\frac{1}{AB}$，解得x=4$\sqrt{3}$+6．
∴BC=4$\sqrt{3}$+6，AB=2$\sqrt{3}$+4，
∴BF=AB-AF=2$\sqrt{3}$+3，
∴tan∠DBF=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}$=2-$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=∠BCE，
∴tan∠BCE=2-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△ADF∽△ACB是解此题的关键．