Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O，D分别为AB，BC上的点，经过A，D两点的⊙O分别交AB，AC于点E，F，且D为弧EF的中点．

(1)求证：BC与⊙O相切；

(2)当⊙O的半径r＝2，∠CAD＝30°时，求劣弧AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）连接OD．欲证明BC与 O相切，只要证明BC⊥OD即可；

（2）由同弧所对的圆周角相等可以推知∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°；可得∠AOD=120°，由弧长的计算公式求解即可．

(1)如图，连结OD，则OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA(等边对等角)．

∵，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC.

∵∠C＝90°，

∴∠ODC＝90°，即BC⊥OD，

∴BC与⊙O相切；

(2)∵∠OAD＝∠ODA＝∠CAD＝30°，

∴∠AOD＝120°.

∵⊙O的半径r＝2，

∴劣弧AD的长为.