Question

12．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC．
（1）若AD=DF=FB，S₁：S₂：S₃=1：3：5；
（2）若S₁：S₂：S₃=1：8：27，则AD：DF：FB=1：2：3．

Answer 1

分析 （1）首先根据已知的平行线段，可判定△ADE∽△AFG∽△ABC，进而可由它们的相似比求得面积比，从而得到S₁、S₂、S₃的比例关系；
（2）根据相似三角形的面积比，等于对应边长比的平方，由题中三部分面积比可求得相似比，则可求得对应线段的比．

解答 解：
（1）∵DE∥FG∥BC，
∴DE：FG：BC=AD：AF：AB=1：2：3，△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴S_△ADE：S_△AFG：S_△ABC=AD²：（2AD）²：（3AD）²=1：4：9；
设S_△ADE=1，则S_△AFG=4，S_△ABC=9，
∴S₁=S_△ADE=1，S₂=S_△AFG-S_△ADE=3，S₃=S_△ABC-S_△AFG=5，
即S₁：S₂：S₃=1：3：5．
故答案为：1：3：5；
（2）∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∵S₁：S₂=1：8，
∴S_△ADE：S_△AFG=1：9，
∴AD：AF=1：3，
∴AF=3AD，
则理可求得AB=6AD，
∴DF=AF-AD=3AD-AD=2AD，BF=AB-AF=6AD-3AD=3AD，
∴AD：DF：FB=1：2：3，
故答案为：1：2：3．

点评 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．