Question

【题目】如图，在等边△ABC中，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN、MN，

（1）求证：△CMN是等边三角形；

（2）判断CN与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AD：AB=3：4，BN=4，求等边△ABC的边长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）CN是⊙O的切线,理由见解析；（3）等边△ABC的边长是3．

【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理得到△BCN≌△ACM，由全等三角形的性质得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，求得∠MCN=∠ACB=60°，即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ACO=∠BCO=ACB=30°，根据角的和差得到∠OCN=90°，根据切线的判定定理得到结论；

（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

试题解析：解：（1）在△BCN与△ACM中，∵BC=AC，∠CBN=∠CAM，BN=AM，∴△BCN≌△ACM，∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，∴∠BCN﹣∠ACN=∠ACM﹣∠ACN，即∠MCN=∠ACB=60°，∴△CMN是等边三角形；

（2）连接OA．OB．OC，在△BOC与△AOC中，∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，∴△BOC≌△AOC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，∵∠ACB=∠MCN=60°，∴∠ACN=60°，∴∠OCN=90°，∴OC⊥CN，∴CN是⊙O的切线；

（3）∵∠ADB=∠ACB=60°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠BAD=∠MAB，∴△ABD∽△AMB，∴ ，∵AM=BN=4，∴AB=3，∴等边△ABC的边长是3．