Question

8．如图1，已知抛物线y=ax²-2x+1经过点A（9，10），交y轴于点B，直线BC||x轴，点P是直线BC下方抛物线上的动点．

（1）直接写出抛物线的函数解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1，点B的坐标为（0，1）、C的坐标为（6，1）；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、BC分别交于点D、E，当四边形PBDC的面积最大时，求P点的坐标；
（3）如图2，当点P为抛物线的顶点时，在直线BC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A坐标可得抛物线解析式，求出x=0时y的值即可知点B坐标，再根据抛物线对称性得出点C坐标；
（2）设点P（m，$\frac{1}{3}$m²-2m+1），表示出PD=-$\frac{1}{3}$m²+3m，再用S_{四边形PBDC}=S_△BDC+S_△APC=$\frac{1}{2}$BC×PD，建立函数关系式，求出极值即可；
（3）先判断出PE=CE，再得到∠PCE=∠DBE，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．

解答 解：（1）将点A（9，10）代入得：81a-18+1=10，
解得：a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1，
当x=0时，y=1，即点B（0，1），
∵抛物线对称轴为x=3，
∴点B关于对称轴的对称点C坐标为（6，1），
故答案为：y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1，（0，1），（6，1）；

（2）如图2，

设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（9，10）、B（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=10}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
设点P（m，$\frac{1}{3}$m²-2m+1）
∴D（m，m+1）
∴PD=m+1-（$\frac{1}{3}$m²-2m+1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，
∵BC⊥PD，BC=6，
∴S_{四边形PBDC}
=S_△BDC+S_△APC
=$\frac{1}{2}$BC×DE+$\frac{1}{2}$BC×PE
=$\frac{1}{2}$BC（DE+PE）
=$\frac{1}{2}$BC×PD
=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）
=-m²+9m
=-（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$，
∵0＜m＜6，
∴当m=$\frac{9}{2}$时，四边形PBDC的面积取得最大值$\frac{81}{4}$，
此时点P的坐标为（$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；

（3）如图2，

∵y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1=$\frac{1}{3}$（x-3）²-2，
∴P（3，-2），
∴PE=y_E-y_P=3，CE=x_E-x_C=3，
∴PE=CE，
∴∠PCE=45°
同理可得：∠DBE=45°，
∴∠PCE=∠DBE，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9$\sqrt{2}$，BC=6，CP=3$\sqrt{2}$
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△BAC时，
∴$\frac{CQ}{BC}=\frac{CP}{AB}$，
∴$\frac{6-t}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$，
∴t=4，
∴Q（4，1）
②当△CPQ∽△BCA时，
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{BC}$，
∴$\frac{6-t}{9\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$，
∴t=-3，
∴Q（-3，1），
综上，点Q的坐标为（4，1）或（-3，1）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．