Question

16．如图，一次函数y=-x+b（b＞0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N．下列结论：
①OA=OB；
②△AOM≌BON；
③∠AOB=45°，则△AOB的面积=k；
④当AB=$\sqrt{2}$时，ON=BN=1．
其中，结论正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 首先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立y=-x+b与y=$\frac{k}{x}$，得x²-bx+k=0，则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比较可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可证结论；再利用作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S_△AOB=k；最后延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=$\sqrt{2}$时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1，即可得出结论正确与否．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=$\frac{k}{x}$中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，得x²-bx+k=0，
则x₁•x₂=k，
又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴OA=OB，△AOM≌△BON，故①②都正确；
作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵△AOM≌△BON，
∴∠MOA=∠BON=22.5°，∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k=k，故③正确；
延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=$\sqrt{2}$时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴当AB=$\sqrt{2}$时，ON=BN=1不成立，即④错误；
∴正确的结论有3个，
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及反比例函数的综合运用，解决问题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，以及反比例函数图象的对称性．