Question

10．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点A（-1，3），B（$\sqrt{3}$+2，$\sqrt{3}$-2）的勾股值「A」、「B」；
（2）点M在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；
（3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）由勾股值的定义即可求解；
（2）点M在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，且「M」=4，列方程组即可得到结果；
（3）设N点的坐标为（x，y），由「N」=3，得到方程|x|+|y|=3，得到x+y=3，-x-y=3，x-y=3，-x+y=3，化为一次函数的解析式y=-x+3，y=-x-3，y=x-3，y=x+3，于是得到所有点N围成的图形是边长为3$\sqrt{2}$的正方形，则面积可求．

解答 解：（1）∵A（-1，3），B（$\sqrt{3}$+2，$\sqrt{3}$-2），
∴「A」=|-1|+|3|=4，「B」=|$\sqrt{3}$+2|+|$\sqrt{3}$-2|=$\sqrt{3}$+2+2-$\sqrt{3}$=4；

（2）设：点M的坐标为（m，n），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{|m|+|n|=4}\\{mn=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{1}=1}\\{{n}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=-1}\\{{n}_{2}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{3}=3}\\{{n}_{3}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{4}=-3}\\{{n}_{4}=-1}\end{array}\right.$，
∴M（1，3），（-1，-3），（3，1），（-3，-1）．

（3）设N点的坐标为（x，y），
∵「N」=3，
∴|x|+|y|=3，
∴x+y=3，-x-y=3，x-y=3，-x+y=3，
∴y=-x+3，y=-x-3，y=x-3，y=x+3，
如图：所有点N围成的图形的面积=3$\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=18．

点评 本题考查了反比例函数的性质，点的坐标的求法，求一次函数的解析式，正确理解勾股值的定义是解题的关键．