Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=6

5

，tan∠ADC=2．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）求半圆O的直径；
（3）求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A，
在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠1=90°，
∴∠ADC+∠2=90°，
∴∠CDO=90°，
∵OD为半圆O的半径，
∴CD为半圆O的切线；

（2）如图，连接DE，
∵BE为半圆O的直径，
∴∠EDB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ADC=∠3，
∴tan∠3=

BD

ED

=2，
∴ED=3

5

，
∴EB=

BD2+DE2

=15；

（3）作CF⊥AD于点F，
∵CD=CA，
∴AD=2AF=2DF，
设DF=x，
∵tan∠ADC=2，
∴CF=2x，
∵∠1+∠FCB=90°，
∴∠FCB=∠ADC，
∴tan∠FCB=2，
∴FB=4x，
∴BD=3x=6

5

，
解得x=2

5

，
∴AD=2DF=2x=4

5

．