Question

【题目】6月1日是儿童节，为了迎接儿童节的到来，兰州某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？

（3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？

Answer 1

【答案】（1）甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）故商场共有四种进货方案：方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利润860元.

【解析】

(1)设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解；

(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件，根据甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解；

(3)先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．

(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件，

根据题意，得，

解得x＝15，

经检验x＝15是原方程的解，

则40﹣x＝25，

答：甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；

(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48﹣m)件，

由题意，得，

解得20≤m＜24，

∵m是整数，

∴m取20，21，22，23，

故商场共有四种进货方案：

方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；

方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；

方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；

方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；

(3)设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具(48﹣m)件，

根据题意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960，

∵比例系数k＝﹣5＜0，

∴W随着m的增大而减小，

∴当m＝20时，有最大利润W＝﹣5×20+960＝860元．