Question

8．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且此抛物线顶点为D（1，$\frac{9}{2}$）．
（1）求抛物线的解析式（化为一般形式）
（2）连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作PE⊥y轴，垂足是点E，连接BE．设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，过点P作PF⊥x轴，垂足是点F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠
，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标（不必画图），并直接判断点P′是否在该抛物线上．

Answer 1

分析 （1）由抛物线顶点D的坐标是（1，$\frac{9}{2}$），设抛物线解析式为y=a（x-1）²+$\frac{9}{2}$，再把C（0，4）代入，得出关于a的方程，解方程求出a=-$\frac{1}{2}$，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式求出B点坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+6，由点P是线段BD上的一个动点，可设P（x，-$\frac{3}{2}$x+6）．得出PE=x，OE=-$\frac{3}{2}$x+6，再根据三角形的面积公式列式得出S=$\frac{1}{2}$PE•OE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{4}$x²+3x（1＜x＜4），利用配方法化为顶点式求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，P（2，3），则E（0，3），F（2，0）．画出图形．利用待定系数法求出直线EF的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3．根据折叠的性质得出P′E=PE=2，PP′⊥EF，由互相垂直的两直线斜率之积为-1，得出直线PP′的斜率为$\frac{2}{3}$，再求出直线PP′的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，设P′（x，$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$），根据P′E=2列出方程x²+（$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$-3）²=4，解方程求出x的值，进而求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线顶点D（1，$\frac{9}{2}$），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
又∵抛物线经过点C（0，4），
∴4=a+$\frac{9}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，即y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）令-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解得x₁=-2，x₂=4，
故A（-2，0）、B（4，0）．
设直线BD解析式为y=mx+n（m≠0），
∵B（4，0），D（1，$\frac{9}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{m+n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得m=-$\frac{3}{2}$，n=6，
直线BD解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∵点P是线段BD上的一个动点，
∴可设P（x，-$\frac{3}{2}$x+6）．
又∵PE⊥y轴，
∴PE=x，OE=-$\frac{3}{2}$x+6，
∴S=$\frac{1}{2}$PE•OE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{4}$x²+3x（1＜x＜4），
∴S=-$\frac{3}{4}$x²+3x=-$\frac{3}{4}$（x²-4x+4-4）=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，
∴当x=2时，S有最大值，最大值为3；

（3）如图，在（2）的条件下，当S取最大值时，P（2，3），则E（0，3），F（2，0）．
易求直线EF的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3．
∵把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，
∴P′E=PE=2，PP′⊥EF，
∴直线PP′的斜率为$\frac{2}{3}$，
设直线PP′的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+p，
把P（2，3）代入，得3=$\frac{2}{3}$x+p，解得p=$\frac{5}{3}$，
∴直线PP′的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
∴可设P′（x，$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$），
∵P′E=2，E（0，3），
∴x²+（$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$-3）²=4，
整理得，13x²-16x-20=0，
解得x₁=-$\frac{10}{13}$，x₂=2（不合题意舍去），
∴x=-$\frac{10}{13}$，
$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$=$\frac{2}{3}$×（-$\frac{10}{13}$）+$\frac{5}{3}$=$\frac{15}{13}$，
此时P′坐标为（-$\frac{10}{13}$，$\frac{15}{13}$）．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴当x=-$\frac{10}{13}$时，y=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{10}{13}$）²+（-$\frac{10}{13}$）+4=$\frac{496}{169}$≠$\frac{15}{13}$，
∴该点不在抛物线上．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，二次函数的性质，折叠的性质，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想与数形结合是解题的关键．