Question

15．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD．

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长BD交AC于F，求出∠AEB=∠AEC=90°，证出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠DBE=∠CAE，根据∠EBD+∠BDE=90°推出∠ADF+∠CAE=90°，求出∠AFD=90°即可；
（2）求出∠BED=∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，根据∠ACE+∠EOC=90°求出∠BDE+∠DOF=90°，求出∠DFO=90°即可；
（3）求出∠BED=∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE=∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可

解答 解：（1）BD=AC，BD⊥AC，
理由是：延长BD交AC于F．

∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在△BED和△AEC中$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，
∵∠BED=90°，
∴∠EBD+∠BDE=90°，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴∠AFD=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC；
（2）不发生变化．
理由：∵∠BEA=∠DEC=90°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$
∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，
∵∠DEC=90°，
∴∠ACE+∠EOC=90°，
∵∠EOC=∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF=90°，
∴∠DFO=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC；
（3）能．
∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{∠BED=∠AEC}\\{DE=EC}\end{array}\right.$
∴△BED≌△AEC，
∴∠BDE=∠ACE，
∴∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）
=180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
=180°-（60°+60°）
=60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°

点评 本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．