Question

【题目】如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．

（1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径；

（2）求证：MN＝NG．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半径为4.8；（2）见解析.

【解析】

（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径；
（2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论．

（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB，

又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；，
连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC==10，
∵S△BOC=OBOC=BCOF，
∴6×8=10×OF，
∴OF=4.8，
∴⊙O的半径为4.8；
（2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°，
∵MN∥OB，
∴∠NMC=∠BOC=90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线，
∴MN=NG．