Question

15．如图，已知反比例函数y=-$\frac{1}{x}$的图象与直线y=kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为y=$\frac{1}{3x}$．

Answer 1

分析 连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S_△AOD，得到S_△EOC，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．

解答 解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵反比例函数y=-$\frac{1}{x}$的图象与直线y=kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴$\frac{AD}{EO}$=$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OA}{OC}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OCE}}$=（$\sqrt{3}$）²=3，
∵点A是双曲线y=-$\frac{1}{x}$在第二象限分支上的一个动点，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$×|xy|=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OCE=$\frac{1}{6}$，即$\frac{1}{2}$×OE×CE=$\frac{1}{6}$，
∴OE×CE=$\frac{1}{3}$，
∴这个图象所对应的函数解析式为y=$\frac{1}{3x}$．
故答案为：y=$\frac{1}{3x}$．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．