Question

如图，圆M与x轴相交于A，B两点，其坐标分别为A（-3，0），B（1，0），直径CD垂直于x轴于N，直线CE切圆M于C，直线FG切圆M于F，交CE于G，已知点G的横坐标为3，
（1）若抛物线y=-x²-2x+m经过A，B，D三点，求m的值及点D的坐标；
（2）求直线DF的解析式；
（3）是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A或B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数m的值，进而可求得抛物线的顶点坐标；根据圆和抛物线的对称性知，点D即为抛物线的顶点，由此得解．
（2）已知了点D的坐标，需求出直线DF上另一点的坐标；根据A、B、D的坐标，可求得AN、BN、DN的长，根据相交弦定理知：DN•NC=AN•BN，由此可求得NC的长，即可得到点C的坐标和直线CE的解析式，设直线DF与直线CE的交点为E，连接CF，根据圆周角定理可知△CFP是直角三角形，而CG、CF同为⊙M的切点，即CG=GF，所以点G即为斜边CP的中点，由此可得点P的坐标，根据D、P的坐标，即可用待定系数法求得直线DF的解析式．
（3）设出过点G的直线解析式，将点G坐标代入其中，即可消去一个待定系数，然后联立抛物线的解析式，若两个函数的两个交点横坐标和为4，那么联立两个函数解析式所得方程的两根之和为4，可据此求出直线解析式中待定系数的值，然后再判断方程的根的判别式是否大于0即可，若大于0，则说明存在符合条件的直线，反之则不存在．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²-2x+m过点A，B两点，
∴-3×1=-m，
∴抛物线为y=-x²-2x+3，
又∵抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点，
∴D点坐标为（-1，4）．

（2）由题意知AB=4，
∵CD⊥x轴，
∴NA=NB=2，
∴ON=1，
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC，
∴NC×4=2×2，NC=1，
∴C的坐标为（-1，-1），
设直线DF交CE于P，连接CF，得∠CFP=90°，
∵CG，FG为圆M的切线，
∴FG=GC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠FPC，
∴FG=GP，
∴GC=GP，
可得CP=8，
∴P点的坐标为（7，-1）；
设直线DF的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=4 7k+b=-1

解得

k=- 5 8 b= 27 8

∴直线DF的解析式为y=-

5

8

x+

27

8

；

（3）假设存在过G的直线y=k₁x+b₁，
则3k₁+b₁=-1，
∴b₁=-3k₁-1，
解方程组

y=k1x-3k1-1 y=-x2-2x+3

，
得x²+（2+k₁）x-3k₁-4=0，
由题意得-2-k₁=4，
∴k₁=-6，
∴△=-40＜0，
∴方程无实数根，
∴方程组无实数解；
∴满足条件的直线不存在．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、圆和抛物线的对称性、圆周角定理、相交弦定理、直角三角形的性质、函数图象交点坐标的求法、根的判别式等知识，涉及知识面较广，难度较大．