Question

10．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求出A、B两点的坐标；
（2）试确定此抛物线的解析式；
（3）在该抛物线是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设点M是抛物线对称轴上的一个动点，H是抛物线对称轴与x轴的交点，如果以MH为半径的⊙M与直线AP相切，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AH和BH，根据C的坐标求出A、B的坐标即可；
（2）根据抛物线的顶点坐标设抛物线的顶点式，把B的坐标代入求出a即可；
（3）假设存在，根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形，求出D的坐标，把D的坐标代入抛物线的解析式，左边=右边，即得出D在抛物线上，即可得出答案；
（4）根据勾股定理，可得AP的长，根据线段的和差，可得PM的长，MN的长，根据相似三角形的判定与性质，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）如图1，作CH⊥AB于H点．

∵CH=1，半径CB=2，
∴HB=$\sqrt{3}$，
∴A的坐标是（1-$\sqrt{3}$，0），B的坐标是（1+$\sqrt{3}$，0）．

（2）设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+3，
把点B（1+$\sqrt{3}$，0）代入上式，解得：a=-1，
∴y=-（x-1）²+3=-x²+2x+2，
即抛物线的解析式是y=-x²+2x+2．

（3）如图2：

假设存在点D使线段OP与CD互相平分，
则四边形OCPD是平行四边形，
∴PC∥OD，PC=OD，
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上，
∵PC=2，
∴OD=2，
即D（0，2），∠MPN=
又D（0，2）满足y=-x²+2x+2，
∴点D在抛物线上，
∴存在D点，使线段OP与CD互相平分，且点D的坐标是（0，2）；
（4）如图3：
，
作MN⊥AP，
设M（1，b）PM=（1-b），MN=MH=b，
HA=1-（1-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
AP=$\sqrt{A{H}^{2}+P{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
由∠MPN=∠APH，∠MNP=∠AHP=90°，得
△MNP∽△AHP，
$\frac{MN}{AH}$=$\frac{PM}{AP}$，即$\frac{b}{\sqrt{3}}$=$\frac{3-b}{2\sqrt{3}}$，
解得b=1，
即M（1，1）．

点评 本题综合考查对平行四边形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，用待定系数法求二次函数的解析式，垂径定理等知识点，本题综合性较强，通过做题培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．