Question

【题目】 如图，已知在中，,,延长到，使，以为圆心，长为半径作⊙交延长线于点,连接．

（１）求证：是⊙的切线；

（２）若AB=2,求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明略；（2）.

【解析】

（1）连接OD，求出∠OAD=60°，得出等边三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．

（1）证明：连接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=2，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=AB=1，
由勾股定理得：CD=,

∴S阴影=S△ODC-S扇形AOD.