Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是$\sqrt{2}$；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是12．

Answer 1

分析 （1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是 $\sqrt{2}$；
（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA=45°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系．

解答 解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x=2时，y=-2+m=0，即m=2，
所以直线AB的解析式为y=-x+2，则B（0，2）．
∴OB=OA=2，AB=2$\sqrt{2}$．
设点O到直线AB的距离为d，
由S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA²=$\frac{1}{2}$AB•d，得
4=2$\sqrt{2}$d，
则d=$\sqrt{2}$．
故答案是：$\sqrt{2}$．

（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，
由y=-x+m可得A（m，0），B（0，m）．
所以OA=OB，
则∠OBA=∠OAB=45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，
所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
所以m＞0．
因为∠CPA=∠ABO=45°，
所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，
所以$\frac{PD}{AB}$=$\frac{CD}{PB}$，即$\frac{\frac{1}{2}m+2}{\sqrt{2}m}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}m}$，
解得m=12．
故答案是：12．

点评 本题考查了一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，另外，解题时，注意分类讨论数学思想的应用．