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如图所示,在直角坐标系xOy中,点A在y轴负半轴上,点B、C分别在x轴正、负半轴上,AO=8,AB=AC,sin∠ABC=
4
5
.点D在线段AB上,连接CD交y轴于点E,且S△COE=S△ADE.试求图象经过B、C、E三点的二次函数的解析式.
考点:二次函数综合题
专题:计算题,数形结合,转化思想
分析:已知AB=AC,显然有OB=OC,因此只需求出点B的坐标即可确定点C的坐标;在Rt△ABC中,已知AO、∠ABC的正弦值即可求出OB的长,可据此求出点B、C的坐标.
求点E的坐标时,要把握住S△COE=S△ADE这个条件,由图可看出这两个三角形的面积不好得出,因此让它们加上一个公共图形,转化为S△CDB=S△AOB更方便求解,先求出点D的坐标,进一步可求出点E的坐标,再由待定系数法即可确定抛物线的解析式.
解答:解:因为sin∠ABC=
AO
AB
=
4
5
,AO=8,
所以AB=10.由勾股定理,得BO=
AB2-AO2
=6.
易知△ABO≌△ACO,因此 CO=BO=6.
于是A(0,-8),B(6,0),C(-6,0).
设点D的坐标为(m,n).
由S△COE=S△ADE,得S△CDB=S△AOB.所以 
1
2
BC•|n|=
1
2
AO•BO,
1
2
×12(-n)=
1
2
×8×6.
解得 n=-4.
因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,-4).
因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心,
所以点E的坐标为(0,-
8
3
).(也可由直线CD交y轴于点E来求得.)
设经过B,C,E三点的二次函数的解析式为y=a(x-6)(x+6).
将点E的坐标代入,解得a=
2
27

故经过B,C,E三点的二次函数的解析式为y=
2
27
x2-
8
3
点评:该题主要考查的是利用待定系数法确定二次函数的解析式,其中求点E的坐标是本题的难点,解题时要注意转化思想的合理应用,例如:将S△COE=S△ADE转化为S△CDB=S△AOB后,可大大降低解题的难度.
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.
abcdefghi
,令A=
.
abc
+
.
bcd
+
.
cde
+
.
def
+
.
efg
+
.
fgh
+
.
ghi
,则A的最大可能值为
 

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在实数0、-
2
、|-3|、-
2
3
中,最小的是(  )
A、0
B、-
2
C、|-3|
D、-
2
3

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1
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