Question

已知，CD是⊙O的弦，A为的中点，E为CD延长线上一点，EG切⊙O于G，AG交CD于K
（1）如图1，求证：KE=GE；
（2）如图2，AC∥EG，，AK=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OA，OG，
∵A为的中点，EG切⊙O于G，
∴OA⊥CD，OG⊥FG，
∴∠A+∠AKC=90°，∠AGO+∠EGK=90°，
∵OA=OC，∠AKC=∠EKG，
∴∠A=∠AGO，∠A+∠EKG=90°，
∴∠EKG=∠EGK，
∴KE=GE；

（2）解：连接OA，OG，OC，设OA与CD交于点F，
∵AC∥EG，
∴∠CAK=∠EGK，
∵∠AKC=∠EKG，∠EKG=∠EGK，
∴∠CAK=∠CKA，
∴AC=KC，
∵，
设DK=3x，CK=5x，则AC=5x，CD=DK+CK=8x，
∴CF=DF=4x，FK=DF-DK=x，
在Rt△ACF中，AF==3x，
在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，
∴（3x）²+x²=（2）²，
解得：x=2，
∴AF=3x=6，CF=4x=8，
设⊙O的半径为y，
则OF=y-6，
在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，
∴y²=64+（y-6）²，
解得：y=，
∴⊙O的半径为：．
分析：（1）首先连接OA，OG，由A为的中点，EG切⊙O于G，可得OA⊥CD，OG⊥FG，即可证得∠EKG=∠EGK，继而可得KE=GE；
（2）首先连接OA，OG，OC，设OA与CD交于点F，易得AC=KC，设DK=3x，CK=5x，则AC=5x，CD=DK+CK=8x，可得CF=DF=4x，FK=DF-DK=x，即可得AF=3x，然后由在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，得到方程（3x）²+x²=（2）²，即可求得x的值，再设⊙O的半径为y，由在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，可得方程y²=64+（y-6）²，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．