Question

14．若p²-3p-5-0，q²-3q-5=0，且p≠q，试求$\frac{1}{{p}^{2}}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 利用已知条件，可把p和q看作方程x²-3x-5=0的两根，则根据根与系数的关系得到P+q=3，pq=-5，然后利用通分和完全平方公式变形得到$\frac{1}{{p}^{2}}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}}{{p}^{2}{q}^{2}}$=$\frac{（p+q）^{2}-2pq}{（pq）^{2}}$，再利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵p²-3p-5-0，q²-3q-5=0，且p≠q，
∴p和q可看作方程x²-3x-5=0的两根，
∴P+q=3，pq=-5，
∴$\frac{1}{{p}^{2}}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}}{{p}^{2}{q}^{2}}$=$\frac{（p+q）^{2}-2pq}{（pq）^{2}}$=$\frac{{3}^{2}-2×（-5）}{（-5）^{2}}$=$\frac{19}{25}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．