Question

如图1，已知在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上（端点B、C除外）的任意一点，且PE∥AC，PF∥AB．
（1）试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论还成立吗？如果不成立，你能得出什么结论？请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）推出平行四边形PEAF，推出PF=AE，∠EPB=∠C，根据等腰三角形的判定和性质推出PE=BE即可；
（2）推出平行四边形PEAF，推出PE=AF，∠FPB=∠FCP，根据等腰三角形的判定和性质推出PF=FC即可，

解答：（1）结论是PE+PF=AB，
理由是：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，∠EPB=∠C，
∵AC=AB，
∴∠B=∠C，
∴∠EPB=∠B，
∴PE=BE，
∵BE+AE=AB，
∴PE+PF=AB．

（2）结论是PE-PF=AB，
理由是：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PE=AF，∠FPC=∠ACB=∠FCP，
∴PF=FC，
PE-PF=AC=AB，
即PE-PF=AB．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，证此题的关键是证PE=BE和PF=FC，两小题证明过程类似，题型较好，难度适中．