Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE=GE．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC∥EF，

AH

AC

=

3

5

，FB=1，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出∠OGA=∠OAG，∠AKH+∠OAG=90°，∠KGE=∠GKE=∠AKH，推出∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°，得出∠OGE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）求出∠F=∠CAH，∠OGF=∠CHA=90°，推出Rt△AHC∽Rt△FGO，得出

CH

AC

=

OG

OF

，根据

CH

AC

=

4

5

求出

OG

OF

=

4

5

，得出方程

4

5

=

OG

OG+1

，求出即可．

解答：解：（1）直线EF与⊙O的位置关系是相切，
理由是：如图，连接OG，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
∵KE=GE，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，
∴∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°，
∴∠OGE=90°
即OG⊥EF，又∵G在圆O上
∴EF与圆O相切． 

（2）∵AC∥EF，
∴∠F=∠CAH，
∵∠OGF=∠CHA=90°，
∴Rt△AHC∽Rt△FGO，
∴

CH

AC

=

OG

OF

，
∵在Rt△OAH中，

AH

AC

=

3

5

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t．
∴

CH

AC

=

4

5

，
∴

OG

OF

=

4

5

，
∵FB=1，
∴

4

5

=

OG

OG+1

，
解得：OG=4，
即圆O的半径为4．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的判定的应用，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．