Question

如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
①求证：四边形EFGH是平行四边形．
②探索下列问题，并选择一个进行证明．
a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足

AC⊥BD

时，四边形EFGH是矩形．
b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足

AC=BD

时，四边形EFGH是菱形．
c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足

AC⊥BD且AC=BD

时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：①首先连接AC，BD，由三角形中位线的性质，可判定EH∥FG，GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形．
②a、由①可得当原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
b、由①可得原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC=BD时，四边形EFGH是菱形．
c、由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．

解答：解：①连接AC，BD，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理：GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．

②a、当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
∵由①得：四边形MONH是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是矩形．

b、当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．
∵HG=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，
∴EH=GH，
∴四边形EFGH是菱形；

c、由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．
故答案为：a、AC⊥BD，b、AC=BD，c、AC⊥BD且AC=BD．

点评：此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．