Question

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，-x²+4x+5），建立函数关系式S_{四边形APCD}=-2x²+10x，根据二次函数求出极值；
（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）²+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴4a+9=5，
∴a=-1，
y=-（x-2）²+9=-x²+4x+5，
（2）当y=0时，-x²+4x+5=0，
∴x₁=-1，x₂=5，
∴E（-1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m=-1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=-x+5；
设P（x，-x²+4x+5），
∴D（x，-x+5），
∴PD=-x²+4x+5+x-5=-x²+5x，
∵AC=4，
∴S_{四边形APCD}=$\frac{1}{2}$×AC×PD=2（-x²+5x）=-2x²+10x，
∴当x=-$\frac{10}{2×（-2）}$=$\frac{5}{2}$时，
∴即：点P（$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$）时，S_{四边形APCD最大}=$\frac{25}{2}$，
（3）如图，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△AOE，
∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，
当x=1时，M点纵坐标为8，
当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M₁（1，8）或M₂（3，8），
∵A（0，5），E（-1，0），
∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，
∴N（2，10+b），
∵AE²=OA²+OE²=26
∵MN=AE
∴MN²=AE²，
∴MN²=（2-1）²+[8-（10+b）]²=1+（b+2）²
∵M点的坐标为M₁（1，8）或M₂（3，8），
∴点M₁，M₂关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M₁N=M₂N，
∴1+（b+2）²=26，
∴b=3，或b=-7，
∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）
，
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．