Question

1．若关于x的方程x²+2px-q=0和x²-2qx+p=0都没有实数根（p、q是实数），
①问式子$\frac{q}{p}$+$\frac{p}{q}$是否总有意义，说明理由．
②问p+q是否可以是整数，若可以，当p+q为为整数时，求$\frac{p+pq}{q}$+$\frac{q+pq}{p}$的值；若p+q不可以为整数，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根的判别式与根的情况只需判断pq是否为0即可．
（2）联立两个方程求方程组的解即可得到p+q的值从而可求$\frac{p+pq}{q}$+$\frac{q+pq}{p}$的值

解答 解：（1）式子$\frac{q}{p}$+$\frac{p}{q}$总有意义，理由如下：
∵方程x²+2px-q=0和x²-2qx+p=0都没有实数根（p、q是实数），
∴4p²+4q＜0，4q²-4p＜0，
∴p²＜-q，q²＜p，
∵p²≥0，q²≥0，
∴q＞0，p＜0，
∴pq≠0
∴$\frac{q}{p}$+$\frac{p}{q}$=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}}{pq}$总有意义．
（2）∵关于x的方程x²+2px-q=0和x²-2qx+p=0中x表示同一个未知量
∴联立求解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2px-q=0}&{①}\\{{x}^{2}-2qx+p=0}&{②}\end{array}\right.$
①-②得：2（p+q）x-（p+q）=0
（2x-1）（p+q）=0
∴x=$\frac{1}{2}$或p+q=0
∴p+q可以是整数，且p+q=0，
∴$\frac{p+pq}{q}$+$\frac{q+pq}{p}$=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}+pq（p+q）}{pq}$=$\frac{{p}^{2}+{q}^{2}}{pq}$=$\frac{（p+q）^{2}-4pq}{pq}$=-4
故：p+q可以是整数．当p+q为为整数时，$\frac{p+pq}{q}$+$\frac{q+pq}{p}$的值为-4

点评 本题考查了根的判别式判别式的应用，解题的关键是理解一元二次方程根的判别式与根的个数的关系．