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    （2010•来宾）已知矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．
    （1）试用t表示点N的坐标，并指出t的取值范围；
    （2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
    （3）是否存在某个时刻t，使得点O、N、M三点同在一条直线上？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据条件先求出AC的值，求出sin∠AOC的值，作NE⊥OA于E，利用相似三角形的性质就可以表示出NE、OE的值，从而求出N点的坐标，由M运动的时间就可以求出t的范围．
    （2）作NF⊥AB于F，根据N点的坐标就可以表示出S△OAN、S△AMN，从而可以求出结论；
    （3）根据（2）的解析式=S△OAM，建立方程求出t的值．即可以得出结论．
    解答：解：（1）如图1，作NE⊥OA于E，
    ∴∠NEA=90°．
    ∵四边形OABC是矩形，
    ∴∠AOC=∠B=90°，BC=OA，OC=AB．
    ∴NE∥OC，
    ∴
    AN
    AC
    =
    NE
    OC
    ，
    ∵OA=3cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，由勾股定理，得
    AC=5，
    ∵CN=t，
    ∴AN=5-t．
    ∴
    5-t
    5
    =
    NE
    4
    ，
    ∴NE=4-
    4
    5
    t．
    ∵tan∠OAC=
    EN
    AE
    =
    4
    3
    ，
    ∴
    4-
    4
    5
    t
    AE
    =
    4
    3
    ，
    ∴AE=3-
    3
    5
    t，
    ∴OE=
    3
    5
    t，
    ∴N（
    3
    5
    t，4-
    4
    5
    t）．
    ∵
    AB
    1
    =4，
    ∴0＜t≤4；

    （2）作NF⊥AB于F，
    ∴四边形AFNE是矩形，
    ∴NF=AE，NE=AF．
    ∴NF=3-
    3
    5
    t，
    ∵AM=t，
    ∴S四边形OAMN=
    OA．NE
    2
    +
    AM．NF
    2
    ，
    =
    3(4-
    4
    5
    t)
    2
    +
    t(3-
    3
    5
    t)
    2
    ，
    =-
    3
    10
    t2+
    3
    10
    t+6    ；

    （3）当O、N、M三点同在一条直线上时，
    -
    3
    10
    t2+
    3
    10
    t+6    =
    3×t
    2
    ，
    解得：t1=-2-2
    		6
    （舍去），t2=-2+2
    		6
    ＜4，
    故t的值为-2+2
    		6
    ．
    点评：本题考查了矩形的性质的运用，平行线分线段成比例定理的运用，不规则四边形的面积的运用，三角形的面积的运用，三角函数值的运用．解答时每一问之间是递进关系，需要认真审题，逐一解答．
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