Question

【题目】已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3．

（1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式．

（2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围．

（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）﹣3＜m＜0；（3）y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），①当a＞﹣3时，y2＞y1，②当a＝﹣3时，y2＝y1，③当a＜﹣3时，y2＜y1．

【解析】

（1）将点的坐标代入函数，可得a、b，即得到二次函数的表达式．（2）根据抛物线的图象，可得m，n的取值范围．（3）根据二次函数表达式，可得y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），分析a的取值范围，可得到y1和y2的大小关系．

解：（1）由题意得：，

解得：，

∴此二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）如图，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，且（m，n）是二次函数图象在第三象限内的点，

∴﹣4≤n＜0，

当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，

x＝﹣3或1，

∴图象过（1，0）和（﹣3，0），

∴﹣3＜m＜0；

（3）由条件可得：y1＝ax12+（3﹣a）x1﹣3，y2＝ax22+（3﹣a）x2﹣3，

∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）[a（x2+x1）+3﹣a]，

∵x1+x2＝2且x1＜x2，

∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），

①当a＞﹣3时，y2＞y1，

②当a＝﹣3时，y2＝y1，

③当a＜﹣3时，y2＜y1．