Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形AOB的直角顶点与原点O重合，点A、B分别在x、y轴上，且AB=．直线AB交反比例函数的图象于点C，且AB=2BC．过点C作CD⊥y轴于点D．
（1）求直线AB的函数解析式和过点C的反比例函数的解析式；
（2）连接AD、OC，求四边形AOCD的面积．

Answer 1

解：（1）∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠BAO=45°，
∴AB=OB=OA，
而AB=4，
∴OA=OB=4，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），
设直线AB的函数解析式为 y=kx+b（k≠0），
把点A（-4，0）和点B（0，4）分别代入y=kx+b（k≠0），得，解得，
∴直线AB的函数解析式为y=x+4，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDO=90°．
∴∠ABO=∠CBD=45°，
又∵AB=2BC，
∴BC=2，
∴CD=BD=2，
∴OD=BD+OB=2+4=6，
∴点C的坐标为（2，6），
设过点C的反比例函数的解析式为y=（m≠0）．
将点C（2，6）代入y=（m≠0），得6=，
∴m=12，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）∵S_△AOD=×OA×OD=×4×6=12，
S_△ODC=×OD×CD=×6×2=6，
∴S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△ODC=12+6=18．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得AB=OB=OA，则OA=OB=4，得到点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），然后利用待定系数法求出直线AB的函数解析式为y=x+4，由CD⊥y轴，得到△CDB也是等腰直角三角形，而AB=2BC，则BC=2，于是有CD=BD=2，则OD=BD+OB=2+4=6，得到点C的坐标为（2，6），再利用待定系数法求出点C的反比例函数的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到S_△AOD=×OA×OD=×4×6=12，S_△ODC=×OD×CD=×6×2=6，然后利用S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△ODC计算即可．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会利用待定系数法求函数的解析式以及灵活运用等腰直角三角形的性质．