Question

已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ADE=∠ABC
∵∠BDC=∠ADE
∵∠BAC=∠BDC
∴∠ABC=∠BAC
∴BC=AC
∴△ABC为等腰三角形；

（2）解：∵AE切⊙O于点A
∴∠EAD=∠ACE
∵∠AED=∠CEA
∴△AED∽△CEA
∴AE²=ED•EC=ED•（ED+CD）
∵AE=6，CD=5
∴6²=ED（ED+5）
∴ED=4或ED=-9（舍去）
∵△ADE∽△CAE
∴AD：AC=AE：CE
∵AC=BC=12
∴=
∴AD=8
答：AD的长为8．
分析：（1）根据四边形ABCD内接于⊙O，可得∠ADE=∠ABC，又弧BC所对的圆周角是∠BAC=∠BDC从而可得∠ABC=∠BAC，故△ABC为等腰三角形；
（2）由弦切角定理可得∠EAD=∠ACE，∠E是公共角，可证△AED∽△CEA，利用对应边的比相等求线段长度．
点评：此题考查圆内接四边形的性质定理，弦切角的性质定理等知识．解答本题关键是运用定理证明角相等，从而推出相似，运用对应边的比相等，求线段的长．