解:(1)∵AM⊥AC,∠ACB=90°∴AM∥BC,
∴
=
,
∵BC=6,AC=8,∴AB=10,
∵AE=x,AP=y,∴
=
,
∴y=
(x>0);
(2)假设在射线AM上存在一点E,使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似;
∵AM∥BC∴∠B=∠BAE,
∵∠ACB=90°,∠AEP≠90°,
∴△ABC∽△EAP,
∴
=
∴
=
解得:x
1=
,x
2=0(舍去)
∴当AE的长为
时,△ABC∽△EAP;
(3)∵⊙C与⊙E相切,AE=x
①当点E在射线AD上,⊙C与⊙E外切时,ED=x-6,EC=x-6+8=x+2,
在直角三角形AEC中,AC
2+AE
2=EC
2∴x
2+8
2=(x+2)
2解得:x=15∴⊙E的半径为9.
②当点E在线段AD上,⊙C与⊙E外切时,ED=6-x,EC=6-x+8=14-x,
在直角三角形AEC中,AC
2+AE
2=EC
2,
∴x
2+8
2=(14-x)
2解得:x=
∴⊙E的半径为
.
③当点E在射线DA上,⊙C与⊙E内切时,ED=x+6,EC=x+6-8=x-2,
在直角三角形AEC中,AC
2+AE
2=EC
2∴x
2+8
2=(x-2)
2解得:x=-15(舍去),
∴内切不成立
∴当⊙C与⊙E相切时,⊙E的半径为9或
.
分析:(1)首先证明AM∥BC,△BCP∽△APE,可得AE:BC=AP:BP,然后根据题意代入相关数值即得y关于x的函数解析式.
(2)先假设存在点E,使△ABC∽△EAP,则有AB:BC=AE:AP,把第一问的结果代入可得到一个一元二次方程,解此方程看结果是否符合题意,合题意,则存在此点,否则不存在此点.
(3)此问要分情况讨论:当点E在射线AD上,⊙C与⊙E外切时;当点E在线段AD上,⊙C与⊙E外切时;当点E在射线DA上,⊙C与⊙E内切时;根据解直角三角形分别求解,不符合题意的解舍去.
点评:此题难度较大,综合考查函数、方程与圆的相切,三角形相似的判定与性质、平行线性质等知识.