精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,过点A作直线MN⊥AC,点E是直线MN上的一个动点,
(1)如图1,如果点E是射线AM上的一个动点(不与点A重合),连接CE交AB于点P.若AE为x,AP为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(2)在射线AM上是否存在一点E,使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似,若存在求AE的长,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过点B作BD⊥MN,垂足为D,以点C为圆心,若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切,求⊙E的半径.

解:(1)∵AM⊥AC,∠ACB=90°∴AM∥BC,
=
∵BC=6,AC=8,∴AB=10,
∵AE=x,AP=y,∴=
∴y=(x>0);

(2)假设在射线AM上存在一点E,使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似;
∵AM∥BC∴∠B=∠BAE,
∵∠ACB=90°,∠AEP≠90°,
∴△ABC∽△EAP,
=
=解得:x1=,x2=0(舍去)
∴当AE的长为时,△ABC∽△EAP;

(3)∵⊙C与⊙E相切,AE=x
①当点E在射线AD上,⊙C与⊙E外切时,ED=x-6,EC=x-6+8=x+2,
在直角三角形AEC中,AC2+AE2=EC2
∴x2+82=(x+2)2解得:x=15∴⊙E的半径为9.
②当点E在线段AD上,⊙C与⊙E外切时,ED=6-x,EC=6-x+8=14-x,
在直角三角形AEC中,AC2+AE2=EC2
∴x2+82=(14-x)2解得:x=∴⊙E的半径为
③当点E在射线DA上,⊙C与⊙E内切时,ED=x+6,EC=x+6-8=x-2,
在直角三角形AEC中,AC2+AE2=EC2
∴x2+82=(x-2)2解得:x=-15(舍去),
∴内切不成立
∴当⊙C与⊙E相切时,⊙E的半径为9或
分析:(1)首先证明AM∥BC,△BCP∽△APE,可得AE:BC=AP:BP,然后根据题意代入相关数值即得y关于x的函数解析式.
(2)先假设存在点E,使△ABC∽△EAP,则有AB:BC=AE:AP,把第一问的结果代入可得到一个一元二次方程,解此方程看结果是否符合题意,合题意,则存在此点,否则不存在此点.
(3)此问要分情况讨论:当点E在射线AD上,⊙C与⊙E外切时;当点E在线段AD上,⊙C与⊙E外切时;当点E在射线DA上,⊙C与⊙E内切时;根据解直角三角形分别求解,不符合题意的解舍去.
点评:此题难度较大,综合考查函数、方程与圆的相切,三角形相似的判定与性质、平行线性质等知识.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M是边AB的中点,E、G分别是边AC、BC上的一点,∠EMG=45°,AC与MG的延长线相交于点F.
(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形,并证明其中的一对;
(2)连接结EG,当AE=3时,求EG的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,b=2
3
,解这个直角三角形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=6cm;D为AC上一点(不与A、C不精英家教网重合),过D作DQ⊥AC(DQ与AB在AC的同侧);点P从D点出发,在射线DQ上运动,连接PA、PC.
(1)当PA=PC时,求出AD的长;
(2)当△PAC构成等腰直角三角形时,求出AD、DP的长;
(3)当△PAC构成等边三角形时,求出AD、DP的长;
(4)在运动变化过程中,△CAP与△ABC能否相似?若△CAP与△ABC相似,求出此时AD与DP的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,M是AC的中点,连接BM,CF⊥MB,F是垂足,延长CF交AB于点E.求证:∠AME=∠CMB.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A.
(1)观察图形,猜想BD与⊙O的位置关系:
相切
相切

(2)证明第(1)题的猜想.

查看答案和解析>>

同步练习册答案