Question

【题目】已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E，F分别在边AB、BC上，且BE=BF，射线EO，FO分别交边CD、AD于G，H．

（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）若OA=4，OB=3，求EG的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAO=∠DCO，∠AOE=∠GOC，

∴△AOE≌△COG（ASA），

∴OE=OG，

同理得：OH=OF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵BE=BF，∠ABD=∠CBD，OB=OB，

∴△EBO≌△FBO，

∴OE=OF，

∴EG=FH，

∴四边形EFGH是矩形；

（2）解：∵垂线段最短，

∴当OE⊥AB时，OE最小，

∵OA=4，OB=3，∠AOB=90°，

∴AB2=OA2+OB2=25，

∴AB=5，

∴ OA×OB= AB×OE，

3×4=5×OE，

OE= ，

∵OE=OG，

∴EG= ．

答：EG的最小值是 ．

【解析】（1）利用菱形的性质可证得四边形EFGH的对角线互相平分，证出它是平行四边形，再证出其对角线相等，得出它是矩形；（2）求EG的最小值也就是OE 的最小值，根据垂线段最短，可知当OEOE⊥AB时，OE最小，进而EGz最小.
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．