【题目】如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若OA=5,OP=3,求CB的长;
(3)设△AOP的面积是S1,△BCP的面积是S2,且.若⊙O的半径为4,BP=,求tan∠CBP.
【答案】(1)见解析;(2)2
【解析】
(1)连接OB,由OP⊥OA,得∠A+∠APO=90°;由CP=CB,得∠CBP=∠CPB;再由OA=OB,得∠A=∠OBA,而∠CPB=∠APO,整理变形可得∠OBC=90°,即BC是⊙O的切线;
(2)设BC=x,则PC=x,在Rt△OBC中,由勾股定理可得关于x的方程
52+x2=(x+3)2,解方程即可求出CB的长;
(3)作CD⊥BP于D,由PC=PB,得PD=BD=PB=,易证△AOP∽△PCD,则由,可得,即,由此可求CD的长,再在Rt△BCD中,按照正切定义求出tan∠CBP即可.
(1)证明:连接OB,如图,
∵OP⊥OA,
∴∠AOP=90°,
∴∠A+∠APO=90°,
∵CP=CB,
∴∠CBP=∠CPB,
而∠CPB=∠APO,
∴∠APO=∠CBP,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:设BC=x,则PC=x,
在Rt△OBC中,OB=OA=5,OC=CP+OP=x+3,
∵OB2+BC2=OC2,
∴52+x2=(x+3)2,
解得x=,
即BC的长为;
(3)解:如图,作CD⊥BP于D,
∵PC=PB,
∴PD=BD=PB=,
∵∠PDC=∠AOP=90°,∠APO=∠CPD,
∴△AOP∽△PCD,
∵,
∴,
∴,
∵OA=4,
∴CD=,
∴tan∠CBP==2.
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【题目】小明做“用频率估计概率”的试验时,根据统计结果,绘制了如图所示的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 任意买一张电影票,座位号是2的倍数的概率
B. 一副去掉大小王的扑克牌,洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正方体骰子,落下后朝上的面点数是3
D. 一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球,它们除了颜色外都相同,从中抽到黑球
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【题目】为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神,某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划,现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批鱼苗,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其运往A、B两村的运费如表:
车型 | 目的地 | |
A村(元/辆) | B村(元/辆) | |
大货车 | ||
800 | 900 | |
小货车 | 400 | 600 |
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆?
(2)现安排其中10辆货车前往A村,其余货车前往B村,设前往A村的大货车为x辆,前往A、B两村总费用为y元,试求出y与x的函数解析式.
(3)在(2)的条件下,若运往A村的鱼苗不少于100箱,请你写出使总费用最少的货车调配方案,并求出最少费用.
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【题目】如图 1,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx﹣5 与 x 轴交于 A(﹣1,0),B(5, 0)两点,与 y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点 D 是 y 轴上的一点,且以 B,C,D 为顶点的三角形与△ABC 相似,求点 D 的坐标;
(3)如图 2,CE∥x 轴与抛物线相交于点 E,点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点,过点 H且与 y 轴平行的直线与 BC,CE 分别相交于点 F,G,试探究当点 H 运动到何处时,四边形CHEF 的面积最大,求点 H 的坐标及最大面积;
(4)若点 K 为抛物线的顶点,点 M(4,m)是该抛物线上的一点,在 x 轴,y 轴上分别找点 P,Q,使四边形 PQKM 的周长最小,求出点 P,Q 的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,2)请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出A1的坐标.
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出A2的坐标.
(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3,并写出A3的坐标.
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【题目】《国家学生体质健康标准》规定:体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀;达到80.0分至89.9分的为良好;达到60.0分至79.9分的为及格;59.9分及以下为不及格,某校为了了解九年级学生体质健康状况,从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试,测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示。
各等级学生平均分统计表
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
平均分 | 92.1 | 85.0 | 69.2 | 41.3 |
各等级学生人数分布扇形统计图
(1)扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ;
(2)计算所抽取的学生的测试成绩的平均分;
(3)若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数,请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级。
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【题目】已知,如图1,△ABC中,BA=BC,D是平面内不与A、B、C重合的任意一点,∠ABC=∠DBE,BD=BE.
(1)求证:△ABD≌△CBE;
(2)如图2,当点D是△ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BDCE的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是( )
A. - B. C. D.
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