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如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°.
(1)请直接写出线段PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值.
(2)若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变,如图2.那么你在(1)中得到的结论是否发生变化?若没变化,直接写出结论,若有变化,写出变化的结果.
(3)在图1中,若∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请直接写出
PG
PC
的值(用含α的式子表示).
考点:四边形综合题
专题:压轴题
分析:(1)延长GP交CD于H,根据两直线平行,内错角相等可得∠PDH=∠PFG,然后利用“角边角”证明△PGF和△PHD全等,根据全等三角形对应边相等可得PH=PG,DH=FG,然后求出CH=CG,再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可;
(2)延长GP交AD于点H,连接CH,CG,先求出△PGF和△PHD全等,根据全等三角形对应边相等可得GF=HD,PH=PG,再求出∠HDC=∠GBC=60°,然后利用“边角边”证明△HDC和△GBC全等,根据全等三角形对应边相等可得CH=CG,∠DCH=∠BCG,然后根据等腰三角形三线合一的性质求解即可;
(3)延长GP至H,使PH=PG,连接CH,DH,CG,同理先利用“边角边”证明△PGF和△PHD全等,根据全等三角形对应边相等可得GF=HD,∠PDH=∠PFG,然后求出DH∥GF,再求出DH∥BE,根据两边互相平行的两个角相等或互补求出∠CDH+∠ABE=180°,再根据周角等于360°求出∠CBG+∠ABE=180°,然后求出∠CDH=∠CBG,然后利用“边角边”证明△HDC和△GBC全等,根据全等三角形对应边相等可得CH=CG,∠DCH=∠BCG,然后根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.
解答:解:(1)延长GP交CD于H,
∵CD∥AB∥GF,
∴∠PDH=∠PFG,
∵P是线段DF的中点,
∴PD=PF,
在△PGF和△PHD中,
∠PDH=∠PFG
PD=PF
∠DPH=∠FPG

∴△PGF≌△PHD(ASA),
∴PH=PG,DH=FG,
∵CH=CD-DH,CG=BC-BG,
BC-CD,BG=FG,
∴CH=CG,
∴PG⊥PC,∠PCG=∠PCH,
∵∠ABC=∠BEF=60°,
∴∠BCD=180°-60°=120°,
∴∠PCG=
1
2
×120°=60°,
PG
PC
=tan60°=
3


(2)猜想:(1)中的结论没有变化.
证明:延长GP交AD于点H,连接CH,CG(如图所示).
∵P是线段DF的中点,
∴FP=DP,
由题意可知AD∥FG,故∠GFP=∠HDP,
在△PGF和△PHD中,
∠GPF=∠DPH
PD=PF
∠GFP=∠HDP

∴△PGF≌△PHD(ASA),
∴GF=HD,PH=PG,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°,
∵BF、AB在同一条直线上,
∴∠GBC=60°,
∴∠HDC=∠GBC=60°,
∵(菱形)GF=GB,
∴DH=GB,
在△HDC和△GBC中,
BC=CD
∠HDC=∠GBC
DH=GB

∴△HDC≌△GBC(SAS),
∴CH=CG,∠DCH=∠BCG,
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°.
即∠HCG=120°,
∵CH=CG,PH=PG,
∴PG⊥PC,∠GCP=∠HCP=60°,
PG
PC
=tan60°=
3


(3)延长GP至H,使PH=PG,连接CH,DH,CG,
∵P是线段DF的中点,
∴FP=DP,
在△PGF和△PHD中,
FP=DP
∠DPH=∠FPG
PH=PG

∴△PGF≌△PHD(SAS),
∴GF=HD,∠PDH=∠PFG,
∴DH=BG,DH∥GF,
∵BE∥GF,
∴DH∥BE,
又∵CD∥AB,
∴∠CDH+∠ABE=180°,
∵∠ABC+∠CBG+∠EBG+∠ABE=360°,∠ABC+∠EBG=180°,
∴∠CBG+∠ABE=180°,
∴∠CDH=∠CBG,
在△HDC和△GBC中,
BC=DC
∠CDH=∠CBG
DH=BG

∴△HDC≌△GBC(SAS),
∴CH=CG,∠DCH=∠BCG,
又∵∠ABC=∠BEF=2α,
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=∠BCD=180°-2α,
∴∠HCG=180°-2α,
∵CH=CG,PH=PG,
∴PG⊥PC,∠GCP=∠HCP=
1
2
(180°-2α)=90°-α,
PG
PC
=tan(90°-α).
点评:本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC.在不添加辅助线的情况下,图中全等三角形共有
 
对.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,AB与⊙O相切于点C,OA=OB,⊙O直径为2cm,∠AOB=120°,则AB的长为
 
cm.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,点D、E分别是AB、AC上的点,AD=AE,BD=CE.
求证:∠B=∠C.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,⊙O中,弦AB⊥AC,OE⊥AB,垂足为E,OF⊥AC,垂足为 F,若AB+AC=10,则四边形OEAF的周长为(  )
A、10.B、9C、8D、7

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科目:初中数学 来源: 题型:

(1)计算:〔-
1
2
-1-
12
+〔1-
2
0+4sin60°;
(2)化简:
a2-9
a2+6a+9
÷(1-
3
a
).

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科目:初中数学 来源: 题型:

对于任何实数,我们规定符号
.
a
c
b
d
.
的意义是:
.
a
c
b
d
.
=ad-bc.按照这个规定请你求x的值:
.
x+1
x-2
2x
x-1
.
=2
的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,直线AB、CD相交于O,且∠AOC=140°,则∠AOD=
 
°.

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科目:初中数学 来源: 题型:

计算:
(1)
5
a
+
10
a

(2)
m2+n2
m-n
-
2mn
m-n

(3)
2a
2a-b
+
b
b-2a

(4)
y
x-y
-
x
x-y

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