Question

已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．

Answer 1

解：（1）AE+CF=EF；

（2）成立．
理由是：延长EA到G，使AG=FC，
∵GA=FC，∠GAB=∠FCB=90°，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB（SAS），
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，
∵∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，
即：∠GBF=60°
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=30°，
∵GB=FB，∠GBE=∠FBE，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE，
∴GE=FE
∵GE=AG+AE，
∴EF=AE+CF；

（3）图3：AE-CF=EF；图4：AE+EF=CF．
分析：（1）AE+CF=EF，证法与（2）相同；
（2）延长EA到G，使AG=FC，证△GAB≌△FCB，推出∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，求出∠GBE=30°，证△GBE和△FBE全等即可；
（3）在AE上取AM=CF，证△ABM和△BCF全等，证△BME和△BFE全等即可；图4与图3证法类似．
点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．