Question

如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O₁与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O₂与x轴，y轴分别切于点R，点H．

（1）求两圆的圆心O₁，O₂所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O₁，O₂之间的距离d；
（3）令四边形PO₁QO₂的面积为S₁，四边形RMO₁O₂的面积为S₂．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可知O₁（m，m），O₂（n，n），
设过点O₁，O₂的直线解析式为y=kx+b，则有：
（0＜m＜n），解得。
∴两圆的圆心O₁，O₂所在直线的解析式为：y=x。
（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O₁O₂对称．
∵P（4，1），直线O₁O₂解析式为y=x，∴Q（1，4）。
如图1，连接O₁Q， O₂Q。
∵Q（1，4），O₁（m，m），
∴根据勾股定理得到：。
又∵O₁Q为小圆半径，即QO₁=m，
∴=m，化简得：m²﹣10m+17="0" ①
同理可得：n²﹣10n+17="0" ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x²﹣10x+17="0" ③的两个根，
解③得：。
∵0＜m＜n，∴m=5－，n=5+。
∵O₁（m，m），O₂（n，n），
∴d=O₁O₂=。
（3）不存在。理由如下：
假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax²+bx+c，
∵开口向下，∴a＜0。
如图2，连接PQ。
由相交两圆性质可知，PQ⊥O₁O₂。
∵P（4，1），Q（1，4），
∴。
又∵O₁O₂=8，∴。
又∵O₂R=5+，O₁M=5－，MR=，
∴
∴，即抛物线在x轴上截得的线段长为1。
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
∴，解得。
∴抛物线解析式为：y=ax²﹣（5a+1）x+5+4a，
令y=0，则有：ax²﹣（5a+1）x+5+4a=0，
设两根为x₁，x₂，则有：x₁+x₂=，x₁x₂=。
∵在x轴上截得的线段长为1，即|x₁﹣x₂|=1，
∴（x₁﹣x₂）²=1，∴（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂=1，即（）²﹣4（）=1，
化简得：8a²﹣10a+1=0，解得a=。
可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾。
∴不存在这样的抛物线。

解析