Question

5．（1）如图①，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD与BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，试回答图中，△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，△ABE∽△DCE；
（2）如图②，工地上有两根电线杆，分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高；
（3）如图③，已知：AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交AB于点F，若EF=4，AB=6，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由AB垂直于BD，CD垂直于BD，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，同理EF与AB平行，且与CD平行，根据EF与AB平行，利用两直线平行同位角相等得到两对角相等，确定出三角形DEF与三角形DAB相似；同理得到三角形BEF与三角形BCD相似；由两直线平行得到两对内错角相等，得到三角形ABE与三角形DEC相似，
（2）先设MH=x，由于MH是EF上的高，AB、CD也分别垂直于EF，那么有AB∥MH∥CD，由AB∥MH，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△DHM∽△DBA，那么有MH：AB=DH：DB，即x：4=DH：DB，同理可得x：6=BH：DB，两式相加可得方程，解方程即可；
（3）由AB∥EF∥CD，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{EF}{AD}=\frac{DE}{AD}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{CE}$，$\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$，又由AB=6，EF=4，即可．

解答 解：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴AB∥CD，
∵EF⊥BD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠EFD=∠ABD，∠DEF=∠DAB，
∴△DEF∽△DAB；
∵∠BFE=∠BDC，∠BEF=∠BCD，
∴△BEF∽△BCD；
∵∠A=∠EDC，∠ABE=∠C，
∴△ABE∽△DEC，
故答案为：DAB；BCD；DCE
（2）设MH=x，
∵MH是EF上的高，AB、CD也分别垂直于EF，
∴AB∥MH∥CD，
∵AB∥MH，
∴△DHM∽△DBA，
∴MH：AB=DH：DB，
∴x：4=DH：DB①，
同理x：6=BH：DB②，
①+②得$\frac{x}{4}$+$\frac{x}{6}$=1，
解得x=2.4．
故铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高为2.4m，
（3）∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{AD}$，
∵EF=4，AB=6，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$
∵AB∥CD，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$
∵EF∥CD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$
∴CD=3EF=12．

点评 此题是相似三角形的判定与性质，主要考查了相似三角形的应用，利用了平行线的判定、平行线分线段成比例定理的推论、解一元一次方程的有关知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．