Question

如图，已知在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（-3，0），点C在y轴正半轴上，且tan∠CAO=1，点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC交BC于点E．
（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；
（2）连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若点P是线段AC上的点，是否存在这样的点P，使△PQE成为等腰直角三角形？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直角△AOC中tan∠CAO=1，
∴OC=OA=4，
∴C点坐标为（0，4），
设直线BC的解析式是y=mx+n，则 ，
解得：．
则BC所在直线为y=x+4；

（2）设直线AC的解析式是y=kx+b，则，
解得：，
则AC所在直线为y=4-x．
设Q点坐标为（q，0），其中q∈[-3，4]，则EQ所在直线为y=q-x，
解方程组，解得：．
则E点坐标为（，），
S_△ABC=AB•OC=×7×4=14，
AQ=4-q，BQ=q+3，
∵QE∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴=（）²=，
∴S_△BEQ=×14=，
S_△ACQ=AQ•OC=（4-q）×4=2（4-q），
∴S_△CEQ=S_△ABC-S_△BEQ-S_△ACQ=14--2（4-q）
=-++，
则当q=时，△CEQ的面积最大，则Q的坐标是（，0）；

（3）设P点坐标为（p，4-p） 其中p∈[0，4]，
可得PQ²=（p-q）²+（4-p）²
PE²=（p-q+）²+（4-p-）²
QE²=（）²+（）²=，
△PQE成为等腰直角三角形
（1）PQ为斜边，则有 PE²=QE²
PQ²=2QE²的可得到（p-q+）²+（4-p-）²=，
（p-q）²+（4-p）²=，
解得或 ．
其中q=与q∈[-3，4]的范围不符 所以p=，q=，
对应P点坐标为（，）Q点坐标为（，0）；
（2）PE为斜边 则有 PQ²=QE²PE²=2QE²即 （p-q）²+（4-p）²=
（p-q+）²+（4-p-）²=
可解得，对应P点坐标为（，）Q点坐标为（，0）；

（3）QE为斜边则有 PQ²=，PE²=
即 （p-q）²+（4-p）²=
（p-q+）²+（4-p-）²=，
解得．
对应P点坐标为（，）Q点坐标为（，0）．
所有符合条件的点P坐标为（，）和（，）．
分析：（1）在直角△AOC中，利用三角函数即可求得OC的长，从而得到C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（2）设Q的坐标是（q，0），根据相似三角形的性质，用q表示出△BEQ的面积，以及△ACQ的面积，则△CQE的面积即可表示成q的函数，利用函数的性质即可求得q的值；
（3）设P点坐标为（p，4-p），即可利用p、q表示出△PQE的三边的长，然后分三种情况讨论，即可求得p，q的值，从而求得P的坐标．
点评：本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质的综合应用，正确进行讨论是关键．