Question

19．【问题提出】
我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．

【初步思考】
在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：

①AB=CD；	②AD=BC；	③AB∥CD；	④AD∥BC；
⑤∠BAD=∠BCD；	⑥∠ABC=∠ADC；	⑦OA=OC；	⑧OB=OD．

那么满足2个条件的四边形是不是平行四边形呢？
【深入探究】
小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：
Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；
Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；
Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．
（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．
（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：
真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．
（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．
假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）仿照小明的分类方法进行分类即可；
（2）根据小明的4种不同种类的情形，写出定理即可；
（3）利用平行四边形的定义证明即可；根据平行四边形的判定方法，即可解决问题；
（4）模仿小亮的方法，写出一些假命题，画图说明即可；

解答 （1）解：Ⅱ关于对角的2个条件可分为“⑤⑥”共1种情形；
Ⅲ关于对角线的2个条件可分为“⑦⑧”共1种情形；
Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个可分为“①⑤，③⑤”共2种情形；
Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个可分为“①⑦，③⑦”共2种情形；
Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个可分为“⑤⑦，⑥⑦”共2种情形．

（2）解：定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形

（3）证明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
真命题2：四边形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；
真命题3：四边形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；
真命题4：四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；

（4）解：假命题2：四边形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例如下：如图△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，

把△ADC翻转得如图所示的四边形ABDC，
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，
显然，四边形ABDC不是平行四边形．
假命题3：四边形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例如下：如图，OA=OC，直线l经过点O，分别以A、C为圆心，
一定的长为半径画弧交直线l于点B、D，得如图所示的四边形ABCD，

在四边形ABCD中，AB=CD，OA=OC，
显然，四边形ABDC不是平行四边形．
假命题4：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例如下：如图，筝形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，显然四边形ABCD不是平行四边形．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会探究的方法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．