Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件点P的坐标，并判断△PAC是否与△COA相似；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x-1）（x-4），再把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式，然后把一般式化为顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），利用两点间的距离公式得到PA²=（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）²，PC²=m²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）²，AC²=5，分类讨论：先确定∠APC不可能为直角；当PA²+AC²=PC²，根据勾股定理的逆定理得到△PAC为直角三角形，即（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）²+5=m²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）²，解得m₁=5，m₂=1（舍去），于是得到此时P点坐标为（5，2），然后根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似可判断△AOC≌△CAP；当PC²+AC²=PA²，同样可判断△PAC为直角三角形，即m²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）²+5=（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）²，解得m₁=6，m₂=0（舍去），于是得到此时P点坐标为（6，5），然后根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似可判断△AOC与△CAP不相似，

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），
把C（0，2）代入得a•（-1）•（-4）=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-4）
，
即y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2；
y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，
所以抛物线的顶点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{8}$）；
（2）存在．
设P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2），则PA²=（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）²，PC²=m²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）²，AC²=1²+2²=5，
当点P在对称轴右侧的x轴下方的任一点时，∠CAP为钝角，∠APC不可能为直角．
若点P在对称轴右侧的x轴上方的任一点时，PA＞AB＞AC，则∠PCA＞∠APC，所以∠APC不可能为直角；
当PA²+AC²=PC²，△PAC为直角三角形，且∠PAC=90°，
即（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）²+5=m²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）²，
整理得m²-6m+5=0，解得m₁=5，m₂=1（舍去），
此时P点坐标为（5，2），PA=2$\sqrt{5}$，PC=5，
∵OC=2，OA=1，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{OC}{AP}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{OC}{AP}$，
而∠AOC=∠CAP，
∴△AOC≌△CAP，
当PC²+AC²=PA²，△PAC为直角三角形，且∠ACP=90°，
即m²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）²+5=（m-1）²+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）²，
整理得m²-6m+5=0，解得m₁=6，m₂=0（舍去），
此时P点坐标为（6，5），PA=5$\sqrt{2}$，PC=3$\sqrt{5}$，
∵OC=2，OA=1，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{OC}{AP}$=$\frac{2}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，
∴$\frac{OA}{AC}$≠$\frac{OC}{AP}$，
而∠AOC=∠CAP，
∴△AOC与△CAP不相似，
综上所述，在对称轴右侧的抛物线上存在点P（6，5）和（5，2），使△PAC为直角为三角形，且以点P（5，2）为直角顶点的Rt△PAC∽Rt△CAO．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；灵活利用三角形相似的判定方法；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．