Question

为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金

b

n

元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．
（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a_k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a_k（不必证明）；
（3）比较a_k和a_k+1的大小（k=1，2，…，n-1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．

Answer 1

分析：（1）第2所民办学校得到的奖金为：（总资金-第一所学校得到的奖金）÷n；
第3所民办学校得到的奖金为：（总资金-第一所学校得到的奖金-第2所民办学校得到的奖金）÷n；
（2）由（1）得k所民办学校所得到的奖金为a_k=总资金÷n×（1-

1

n

）ⁿ；
（3）用a_k表示出a_k+1进行比较即可．

解答：解：（1）因为第1所学校得奖金a₁=

b

n

，所以第2所学校得奖金a₂=

1

n

（b-

b

n

）=

b

n

（1-

1

n

）
所以第3所学校得奖金a₃=

1

n

[b-

b

n

-

b

n

(1-

1

n

)]=

b

n

[1-

1

n

-

1

n

(1-

1

n

)]=

b

n

(1-

1

n

)2

（2）由上可归纳得到a_k=

b

n

(1-

1

n

)k-1

（3）因为a_k=

b

n

(1-

1

n

)k-1，a_k+1=

b

n

(1-

1

n

)k，所以a_k+1=（1-

1

n

）a_k＜a_k
结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多．

点评：这是一道渗透新课程理念的好题．它以奖金发放为背景，以列代数式、因式分解、代数式的大小比较等相关知识为载体，考查了学生数感、符号感、数学建模能力、观察分析、归纳推理等能力．本题得分率较低，究其原因主要有：一是部分学生不能将文字语言转换成符号语言，二是部分学生不能在代数式的整理变形过程中总结发现规律．解决本题的关键一是充分理解题意，二要表示第k所民办学校所得到的奖金，就要在第2所、第3所民办学校得到的奖金（代数式）上发现规律，三要提高对代数式变形的技能．