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    （2012•普陀区一模）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．
    （1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；
    （2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；
    （3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．
    分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=∠EDF=60°，则∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC，根据相似三角形的判定定理得到△AMD∽△CDN，有相似的性质得到AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，然后把DC=AD=2代入计算即可；
    （2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AP=CQ=1，DP=DQ=
    		3
    ，由AM=x，得CN=
    4
    x
    ，MB=4-x，BN=4-
    4
    x
    ，两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，则y=S△DBM+S△DBN，然后根据三角形的面积公式计算即可，易得到当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；
    （3）当M在线段AB上，BM=2时，x=4-2=2，把x=2代入（2）的关系式中计算即可．当M点在线段AB的延长线上，过D作DH∥BC交AB于H，BP=
    1
    2
    DH=1，由△AMD∽△CDN，则AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，可计算出CN，然后根据三角形的面积公式可计算出S△DPN，即两块三角形板重叠部分的面积．
    解答：解：（1）∵△ABC和△DEF都是边长为4的等边三角形，
    ∴∠A=∠C=∠EDF=60°，
    ∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，
    ∴∠AMD=∠NDC，
    ∴△AMD∽△CDN，
    ∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
    而D点为AC的中点，
    ∴DC=AD=2，
    ∴AM•CN=4；
    （2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，如图
    ∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，
    ∴AP=CQ=1，
    ∴DP=DQ=
    		3
    ，
    AM=x，则CN=
    4
    x
    ，MB=4-x，BN=4-
    4
    x
    ，
    ∵BD为等边三角形的高，
    ∴点D到EF的距离为DB，
    ∴两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，
    ∴y=S△DBM+S△DBN=
    1
    2
    •
    		3
    •（4-x）+
    1
    2
    •
    		3
    •（4-
    4
    x
    ）
    =4
    		3
    -
    		3
    2
    x-
    2
    		3
    x
    ，
    在图（1）中，AM=1，
    ∴当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；
    （3）当M在线段AB上，BM=2时，x=4-2=2，
    即y=4
    		3
    -
    		3
    2
    ×2-
    2
    		3
    2

    =2
    		3
    ．
    当M点在线段AB的延长线上，如图（备用图），
    过D作DH∥BC交AB于H，
    ∴DH=
    1
    2
    BC=2，BH=2，
    ∵BM=2，
    ∴BP=
    1
    2
    DH=1，
    与①一样可证得△AMD∽△CDN，
    ∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
    ∴6×CN=4，即CN=
    2
    3
    ，
    ∴PN=4-1-
    2
    3
    =
    7
    3
    ，
    ∴S△DPN=
    1
    2
    PN•DQ=
    1
    2
    ×
    7
    3
    ×
    		3
    =
    7
    		3
    6
    ．
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及三角形的面积公式．
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    15
    4
    cm
    15
    4
    cm
    ．

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    （2）点O到AB的距离为2，求⊙O的半径．

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