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1.如图,AB是⊙O的直径,点C是$\widehat{BD}$的中点,CE⊥AB于点F.
(1)求证:BF=CF;
(2)若CD=3cm,AC=4cm,求⊙O的半径及CE的长.

分析 (1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由CE⊥AB,根据同角的余角相等,可证得∠2=∠A,又由点C是$\widehat{BD}$的中点证得∠1=∠A,继而可证得CF﹦BF.
(2)根据勾股定理即可求得直径AB的长,进而求得⊙O的半径,然后证得△CBE∽△ABC,根据相似三角形的性质即可求得CE.

解答 (1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB﹦90°,
又∵CE⊥AB,
∴∠CEB﹦90°,
∴∠2﹦90°-∠3﹦∠A,
又∵C是弧BD的中点,
∴∠1﹦∠A,
∴∠1﹦∠2,
∴CF﹦BF.
(2)解:∵CD=3cm,
∴BC=CD=3cm,
∵AC=4cm,
∴在R△ABC中,AB2=AC2+BC2
即AB2=32+42
∴AB=5,
∴⊙O的半径为2.5cm,
∵∠2=∠A,∠EBC=∠ABC,
∴△CBE∽△ABC,
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$,即$\frac{CE}{4}$=$\frac{3}{5}$,
∴CE=2.4cm.

点评 此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键.

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