Question

20．如图，平面直角坐标系中，A、C两点的坐标分别是A（0，4），C（8，0），以OA、OC为邻边作矩形OABC，然后以AC为折痕折叠矩形，使B点落在第四象限的E处，AE交x轴于D点，连接CE并延长交y轴于F点．
（1）求D点的坐标；
（2）求直线CE的解析式；
（3）判断△ACF的形状．

Answer 1

分析 （1）连接BE交AC于点G，则BE⊥AC，且G是BE的中点，首先求得AC的解析式和BE的解析式，则G的坐标即可求得，然后根据G是BE的中点即可求得E的坐标，然后求得直线AE的解析式，则D的坐标即可求得；
（2）利用待定系数法即可求得CE的解析式；
（3）首先求得F的坐标，则△ACF的边长即可求得，进而判断三角形的形状．

解答 解：（1）连接BE交AC于点G，则BE⊥AC．
设AC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
则直线AC的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+4，
设BE的解析式是y=2x+c，
∵C的坐标是（8，4），
∴16+c=4，
解得：c=-12，则直线BE的解析式为y=2x-12．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-12}\\{y=-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{32}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
则点G的坐标是（$\frac{32}{5}$，$\frac{4}{5}$），
设E的坐标是（m，n），则$\frac{m+8}{2}=\frac{32}{5}$，$\frac{n+4}{2}=\frac{4}{5}$，
解得：m=$\frac{24}{5}$，n=-$\frac{12}{5}$，
则E的坐标是（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$）；
设AE的解析式是y=ax+d，则$\left\{\begin{array}{l}{d=4}\\{\frac{24}{5}a+d=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=4}\\{a=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
则直线AE的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+4．
令y=0，解得：x=3，则D的坐标是（3，0）；
（2）设直线CE的解析式是y=ex+f，则$\left\{\begin{array}{l}{8e+f=0}\\{\frac{24}{5}e+f=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{3}{4}}\\{f=-6}\end{array}\right.$，
则直线CE的解析式是y=$\frac{3}{4}$x-6；
（3）解析式是y=$\frac{3}{4}$x-6中令x=0，解得y=-6，
则F的坐标是（0，-6），
则AF=10，
在直角△OCF中，CF=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
则AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形．

点评 本题考查了图形的折叠以及待定系数法求函数的解析式，正确求得E的坐标是解决本题的关键．