Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且A、B两点的横坐标是方程x²+4x-12=0的两个根．抛物线与y轴的正半轴交于点C，且OC=AB．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）对于（3），试说明S是否存在最大值或最小值？若存在，请求出此值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）解方程求得A、B点的坐标，根据已知即可求得C点的坐标．
（2）应用待定系数法即可求得解析式．
（3）设BE边上的高为h，先求得△BEF∽△BAC，然后依据相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”，可得：BE边上的高：BA边上的高=BE：BA，求得h=8-m．最后依据S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF　即可求得．
（4）把（3）中求得的解析式转化成顶点式，即可求得S的最大值和此时E点坐标，从而判断出OC⊥EB且平分EB，即可求得△BCE为等腰三角形．

解答：解：（1）由方程x+4x-12=0
得（x+6）（x-2）=0，
∴x=-6，x=2，
由题意得A（-6，0）、B（2，0）．
AB=6-（-2）=8，
∵OC=AB且C点在y轴的正半轴上，
∴C（0，8），
∴A、B、C三点的坐标分别为：
A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）；

（2）∵点C（0，8）在抛物线上，
当x=0时，y=8，∴c=8，
将A（-6，0）、B（2，0）代入y=ax²+bx+8，
得

36a-6a+8=0 4a+2b+8=0

，
解得

a=- 2 3 b=- 8 3

，
∴所求抛物线的解析式为y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（3）如图，依题意，AE=m，则BE=8-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
设BE边上的高为h，
由相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”，
得：BE边上的高：BA边上的高=BE：BA，
即h：OC=BE：BA，
∴h：8=（8-m）：8，
∴h=8-m．
∴S=S_△CEF=S_△ABC-S_△ACE-S_△BEF，
=

1

2

×8×8-

1

2

×8m-

1

2

（8-m）²，
化简整理得S=-

1

2

m²+4m　（0＜m＜8）；

（4）存在最大值．
∵S=-

1

2

m²+4m
=-

1

2

（m²-8m+4²-4²）=-

1

2

（m-4）²+8，
∵-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值8，
S_最大值=8．
∵m=4，
∴AE=4，
∴点E的坐标为E（-2，0），
∵B（2，0），
∴OC⊥EB且平分EB，
∴△BCE为等腰三角形．

点评：本题考查了一元二次方程的解法以及抛物线的交点坐标的求法，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，三角形面积的应用以及函数的最值问题．