Question

6．如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于点B（-1，0）和C，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c向上平移$\frac{7}{2}$个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）将x轴下方的抛物线图象关于x轴对称，得到新的函数图象C，若直线y=x+k与图象C始终有3个交点，求满足条件的k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．
（3）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．

解答 解：（1）∵经过点A（0，-4）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于点B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{\frac{1}{2}-b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{7}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4，

（2）由（1）知，抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4=$\frac{1}{2}$（x²-7x）-4=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{81}{8}$，
∴此抛物线向上平移$\frac{7}{2}$个单位长度的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{53}{8}$，
再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线y=$\frac{1}{2}$（x+m-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{53}{8}$，
∴抛物线的顶点P（-m+$\frac{7}{2}$，-$\frac{53}{8}$），
对于抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4，令y=0，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x-4=0，解得x=-1或8，
∴B（8，0），∵A（0，-4），B（-1，0），
∴直线AB的解析式为y=-4x-4，直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
当顶点P在AB上时，-$\frac{53}{8}$=-4×（-m+$\frac{7}{2}$）-4，解得m=$\frac{91}{32}$，
当顶点P在AC上时，-$\frac{53}{8}$=$\frac{1}{2}$（-m+$\frac{7}{2}$）-4，解得m=$\frac{35}{4}$，
∴当点P在△ABC内时$\frac{91}{32}$＜m＜$\frac{35}{4}$．

（3）翻折后所得新图象如图所示．

平移直线y=x+k知：直线位于l₁和l₂时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l₁时，此时l₁过点B（-1，0），
∴0=-1+k，即k=1． 
②∵当直线位于l₂时，此时l₂与函数y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+4（-1≤x≤8）的图象有一个公共点
∴方程x+k=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+4，即x²-5x-8+2k=0有两个相等实根．
∴△=25-4（2k-8）=0，即k=$\frac{57}{8}$．
综上所述，k的值为1或$\frac{57}{8}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数、两直线平行k相同等知识，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键．