Question

图1是只有一组对角为直角的四边形（我们规定这一类四边形的集合为M），连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个四边形的“直径”（相当于经过这个四边形的四个顶点的圆的直径）．
（1）识图：如图1，四边形ABCD的直径是线段

BD

；
（2）判断：如图2，在坐标系中（网格小方格的单位长为1）的四边形EFGH是否为M中的四边形？给出简要说明；
（3）思考、操作并解决问题：在图2中找到一个点P，使四边形EFPH为M中的四边形，并且这个四边形用一条直线分割成两块后可以拼成一个正方形．要求：写出点P的坐标、画出分割线，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得出直径为BD即可；
（2）首先利用网格求出线段长，得出△HMG∽△GNF，进而得出，∠HGF=90°，即可得出答案；
（3）利用正方形的性质以及全等三角形的判定与性质分析得出即可．

解答：解：（1）根据圆周角定理得出：
四边形ABCD的直径是线段BD；

（2）如图2，四边形EFGH为M中的四边形，
理由：∵HM=2，MG=4，NG=4，NF=8，
∴

MH

NG

=

MG

NF

=

1

2

，
∵∠HMG=∠GNF，
∴△HMG∽△GNF，
∴∠NFG=∠MGH，
∵∠NFG+∠NGF=90°，
∴∠MGH+∠FGN=90°，
∴∠HGF=90°，
又∵∠FEM=90°，∠EHG≠90°，
∴四边形EFGH为M中的四边形；

（3）如图2所示：P点坐标为：（7，7），沿红色直线分割即可得出两部分，可以组成正方形；
∵在△PSH和△PWF中

PS=PW ∠PSH=∠PWF SH=WF

∴△PSH≌△PWF（SAS），
∴PF=PH，
故可以组成边长为7的正方形．
故答案为：BD．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及新定义和相似三角形的判定与性质等知识，利用网格得出三角形各边长度进而得出相似三角形以及全等三角形是解题关键．