【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.
(1)求证:直线DF与⊙O相切;
(2)求证:BF=EF;
【答案】见解析
【解析】分析:
(1)连接OD,由已知易得∠B=∠C,∠C=∠ODC,从而可得∠B=∠ODC,由此可得AB∥OD,结合DF⊥AB即可得到OD⊥DF,从而可得DF与⊙O相切;
(2)连接AD,由已知易得BD=CD,∠BAD=∠CAD,由此可得DE=DC,从而可得DE=BD,结合DF⊥AB即可得到BF=EF.
详解:
(1)连结OD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠C,
∴∠ODC=∠B,
∴OD∥AB,
∵DF⊥AB,
∴DF⊥OD,
∴直线DF与⊙O相切;
(2)连接AD.
∵AC是⊙O的直径,
∴AD⊥BC,又AB=AC,
∴BD=DC,∠BAD=∠CAD,
∴DE=DC,
∴DE=DB,又DF⊥AB,
∴BF=EF.
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【题目】如图,在梯形ABCD中,点P从点A向点D运动,点Q从点C向点B运动.已知点P的运动速度为1cm/s,点Q的运动速度为2cm/s,AD=4cm,BC=8cm,运动时间为t.当t=_____S时,四边形ABQP是平行四边形?
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【题目】如图某学校从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道,而横穿草坪.
(1)试用所学的知识来说明少数学生这样走的理由;
(2)请问学生这样走行吗?如不行请你在草坪上竖起一个牌子,写上一句话来警示学生应该怎样做.
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【题目】感知:如图①,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,正方形CDEF的顶点D、F分别在边AC、BC上,易证:AD=BF(不需要证明);
探究:将图①的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°),连接AD、BF,其他条件不变,如图②,求证:AD=BF;
应用:若α=45°,CD=,BE=1,如图③,则BF= .
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【题目】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,…,依次规律,第( )个图形有76个小圆.
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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【题目】是长方形纸片的四个顶点,点分别是边上的三点,连结.
(1)将长方形纸片按图①所示的方式折叠,为折痕,点折叠后的对应点分别为,点在上,则的度数为 ;
(2)将长方形纸片按图②所示的方式折叠,为折痕,点折叠后的对应点分别为, 若, 求的度数;
(3)将长方形纸片按图③所示的方式折叠,为折痕,点折叠后的对应点分别为,若,求的度数为 .
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【题目】在等腰Rt△ABC中,CA=BA,∠CAB=90°,点M是AB上一点,
(1)点N为BC上一点,满足∠CNM=∠ANB.
①如图1,求证:;②如图2,若点M是AB的中点,连接CM,求的值;
(2)如图3,若AM=1,BM=2,点P为射线CA(除点C外)上一个动点,直线PM交射线CB于点D,猜测△CPD面积是否有最小值,若有,请求出最小值:若没有,请说明理由.
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【题目】在等腰Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,点E在AC上,且∠EDC=72°,点F在AB上,满足DE=DF,则∠CEF的度数为_______.
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【题目】某社区为了解居民对居住环境的满意度情况(满意度分为四个等级:、非常满意:、满意;、基本满息;、不满意),在某小区随机抽样调查了若干户居民,并根据调查数据绘制成下面两个不完整的统计图.
请你结合图中提供的信息解答下列问题.
(1)这次被调查的居民共有______户,并将条形统计图补充完整.
(2)请计算扇形统计图中所在扇形的圆心角度数.
(3)若该小区有2500户居民,请你估计这个小区大约有多少户居民对居住环境的满意度是“非常满意”.
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